两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

昨日发了一篇文章《咱们来打个赌，很多人估计会输：关于车牌号码的》

说了一个必赢的游戏，现在说游戏背后的玄机。

这个玄机同时也是大名鼎鼎的【生日悖论】的玄机，它说的是：如果一个房间里有23个或以上的人，那么至少有两人的生日相同的概率要大于50%。

简述昨天的游戏如下：

两个人在公路上，看着来往车辆，然后开始赌：如果连续过往的20辆车中，其车牌尾号的后两位，有两辆车相同，则窃.格瓦拉输掉游戏，而凤凤赢。反之，格瓦拉赢。

也就是说，第一辆车，尾号是1293，第18辆车，尾号是8593，那么凤凤赢，因为尾号后两位都是93。

很多人认为，窃.格瓦拉必然会赢得这个游戏。理由是：

尾号的后两位数字必然只能是00、01、02、03……10、11、12……96、97、98、99这里面的数。也就是说，共有100种不同的后两位尾号。某辆车尾号的后两位，只能是其中的1种，比如“11”。而另一辆车尾号后两位也是“11”的可能性是很低的。因为共有100种可能，所以两辆车后两位尾号相同的概率只有1%。

但令人惊讶的是，凤凤每次赢得此游戏的概率高达87%！

原因如下：（需要计算，如果您不感兴趣，可就此回头）

为保证初中生都能懂，咱们先从简单的计算开始，后面就一目了然了。

有的人冬季出生，有的人在夏季出生。现在我们问，格瓦拉和凤凤碰到一块了，那么他俩在同一个季节出生的概率是多少？

直观的解法：

把两人的出生组合都罗列出来，然后数一数，我们就得到了答案。

格瓦拉和凤凤，他俩出生的季节组合，总共只有16种可能，而这16种可能中，却只有4种是在相同季节出生。所以，这两人在相同季节出生的概率为1/4，也就是25%。

正确的解法：

想象一个空空的房间里，此时，格瓦拉先走了进去，我们不知道格瓦拉是在春天出生，还是夏天出生，都有可能。

现在我们问，格瓦拉出生的季节与其他人不同的概率是多大？很简单，因为房间里只有他一人，所以，格瓦拉在春夏秋冬4个季节里可以有4种选择。4中选4，也就是100%。

现在，房间里又进来了另一个人，凤凤。那么，凤凤跟其他人的出生季节不同的概率是多少？

显然，春夏秋冬已被格瓦拉占去了其中一个季节，那么凤凤在4个季节里只剩下3种选择了，4中选3，也就是3/4，即75%。

现在，我们开始算这格瓦拉和凤凤出生季节不相同的概率。

计算方法就是把两人与其他人不同季节出生的概率相乘。

再继续问，两人在相同季节出生的概率又是多大？

如下：

这表示的意思是，在所有的可能中，减去了所有不同季节出生的可能，那么剩下的就是相同季节出生的可能，或者说概率了。

上面【直观的解法】和【正确的解法】，答案都是一样的。

而现在，我们要用【正确的解法】来解答公路上车牌尾号那个问题。

车牌尾号正确算法：

第一步：跟上面那道简单题一样，先算每辆车与其他车尾号后两位不相同的概率。

想象一片空旷的大广场，第一辆车先驶来，现在问，这第一辆车与其他车尾号后两位不相同的概率是多少？

显然是100%，因为第一辆车的尾号可以是100种中的任何一种，也就是说，在100种中，它可以有100种选择，也就是100中选100，即100%。

接着，第二辆车驶进广场，现在，第二辆车与其他车尾号后两位不同的概率是多少呢？

因为已经有一辆车占去了其中一种，所以第二辆车只有在99种选择了，也就是99%。

第三辆车又驶进广场，显然，它与其他车尾号后两位不同的概率是98%。

…………

以此类推，我们发现，20辆车陆续驶进一个大广场，它们与其他车尾号后两位不同的概率分别是：

如果我们要计算这20辆车，它们的尾号后两位都与其他车不相同的概率是多少时，方法还是跟上面那道题一样，把它们都乘起来。

20辆车尾号后两位互相都不同的概率为：

同理，当我们要计算20辆车中，其中两车尾号后两位相同的概率，那就拿100%减去20辆车尾号后两位互相都不同的概率就可以了。（回想一下，这其实跟上面春夏秋冬那道题也是一样的。）

所以，连续驶来的20辆车中，两车尾号后两位相同的概率等于：

也就是说，如果堵车无聊时，您跟别人打赌，连续驶来的20辆车中，你赌其中有两车尾号后两位相同，你的女友赌不相同，则你每次赢的概率为87%。

延伸：

知道了以上解法后，面对【生日悖论】，你也就知道为什么是那样了。因为解法一样。

有23人，为什么两个人同一天生日的概率超过50％

这是有名的生日悖论.生日悖论是指,如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高.对于60或者更多的人,这种概率要大于99%.从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论,从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上,它才称得上是一个悖论.因为大多数人会认为,23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%.
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的.如在前面所提到的例子,23个人可以产生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配,而这每一种搭配都有成功相等的可能.生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少.从这样的角度看,在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议.
简而言之就是说.23个人里面就可以产生C(23,2) = 253种搭配,只要这253种搭配中的任意一种满足相同生日的条件,则整个条件就满足了.计算任意人数的结果如下：
1: 0
2: 0.00274
3: 0.00820
4: 0.01636
5: 0.02714
……
20: 0.4114
21: 0.4437
22: 0.4757
23: 0.5073
24: 0.5383
25: 0.5687
……
可见概率第一次大于0.5是在人数为23的时候.因此说23个人中有2人生日相同的概率很大.

生日悖论是正确的吗？

可以很负责告诉你，完全正确。

这个问题是我们python老师上课布置的题，我用python写过一个程序来模拟这个问题，可以看到结果，如果是50个人的班，在经过10万个样本班级模拟，97142个样本有相同的，概率97.142%（生日是通过计计算机随机数生成的）

现在从概率论来给你解释:

有n个人，

第一个人生日是365选365

第二个人是365选364(如果第二个人要与第一个人生日不同)

第三个人就是365选363（要和第一个和第二个人都不相同）

第n个人就是365选(365-n+1)（和前面的人都不同）

所以所有人都不相同就是：（是都不相同）

（365/365）*（364/365）*...*(365-n+1/365)  (反斜杠是分号)

有相同就是1-上面这个算式(都不相同的对立就是有相同，哪怕只有两个相同)

代入n=50,可以得出，概率约为97.037%（我用卡西欧科学计数器算的，和我的python模拟结果基本一致)

生日悖论说的是23个人，两个人生日相同概率会超过50%（和上面类似，我通过科学计数器和python程序验证了是大于50%的）