古人是如何计算出"天高地厚"的？

发布者：鸡闻起舞 2026-9-23 10:14

古人是如何计算出"天高地厚"的？

"天高地厚"今天是一句骂人的话，说一个人不知天多高地多厚，是说他不知好歹、不识分量。但在两千多年前，这四个字是三个极其严肃的科学问题：大地有多厚？天有多高？日月星辰离我们有多远？

古人对这三个问题给出的答案，错了大半，但推导它们的方法，却和今天科学家的路子惊人地一致。这篇文章就来讲讲，只用一根竿子、一桶水、几根空心竹管，古人是怎样一步步"量"出这个世界的。

一、先把大地钉在脚上：地球周长是怎么量出来的

要谈"地厚"，得先知道地有多大。而这件事，古人在公元前三世纪就干成了。

埃拉托色尼的夏至实验

公元前 240 年前后，希腊的埃拉托色尼（Eratosthenes，时任亚历山大图书馆馆长）听说一件事：在南方的赛伊尼城（今阿斯旺），夏至正午时分，深井的井底会被阳光完全照亮——也就是说，太阳正好在头顶正上方，竖直的竿子没有影子。

而在亚历山大城，同一天的同一时刻，竖直的竿子却有一段影子。他量出影子与竿子的夹角，大约是圆周的 1/50，也就是 7.2°。

埃拉托色尼的推理只有一条：太阳光线是平行的。既然光线平行，那么"赛伊尼太阳在正头顶、亚历山大太阳偏了 7.2°"，说明的不是太阳动了，而是两地的地面相对于太阳的方向偏转了 7.2°——这 7.2° 正是两城之间那段子午线圆弧所对的圆心角（用几何语言说，是"内错角相等"）。

于是他只要知道两城之间的距离，就能按比例算出整个地球的周长：

地球周长 = 两地距离 × 360 ÷ 7.2 = 两地距离 × 50

两城距离的估计，一般认为是利用商队行程或专业步测员（bematist）的步长折算，约 5000 斯塔德。算下来周长约 25 万斯塔德。按当时的斯塔德长度换算，与现代值 40,000 公里的误差通常在百分之几到百分之十几之间——考虑到他连一公里都没有精确量过，这个结果堪称奇迹。

这里最关键的一点是：**他从未离开过埃及，仅仅比较了两个地方的正午影子，就量出了整个地球。**这是人类第一次证明"地球是可以被认识的"。

中国的一方一圆

中国古人没有走"球面投影"这条路，因为主流宇宙论是"天圆地方"。《周礼》记有"土圭之法"：立一根八尺高的表（竿），在夏至日中测影长，影长一尺五寸的地方就是"地中"，即天下的中心。这是把圭表当成定位工具——用来确定都城、划分节气、安排农事，而不是用来推导地球半径。

但中国古人另辟了一条路，而且走得更远——他们量出了"地的厚度"。这就是《周髀算经》。

二、地有多厚：一根八尺表的"勾股测天"

《周髀算经》成书约在公元前 1 世纪，是中国最古老的天文数学著作。它给出的宇宙模型是"盖天说"：天像一顶斗笠罩在上面，地像一块倒扣的盘子浮在下面，日月星辰附着在天的内壁转动。

在这个模型里，"天高地厚"是可以算的。核心方法是重差术——用两次不同距离的测影，消掉未知量。

先算天高

假设日在正南方。立一根八尺高的表，在表正北方向若干处测影：

在距表 1000 里处，影长 1 尺 7 寸（即 1.7 尺）在距表 2000 里处，影长 1 尺 8 寸（即 1.8 尺）

两次测影，影长差了 1 寸（0.1 尺），而测点挪了 1000 里。这说明：每向北 1000 里，影长增加 1 寸。

《周髀算经》的技巧是从"影长为零"的地方倒推。若影长 1.7 尺对应距表 1000 里，而影长每 1000 里增 1 寸，则影长为零的点在表北方向：

1000 里 − 1.7 尺 ÷ 0.1 尺 × 1000 里 = 1000 − 17000 = −16000（里）

也就是说，太阳正上方那一点，在表的南方 16000 里处（古人记作"日下"）。这一步就是重差的精髓：用一个远距离的假设点，把不能直接到达的位置推算出来。

接下来用相似三角形。设天高为 H，则有：

H ÷ 8 尺 = 16000 里 ÷ 1.7 尺

解得 H ≈ 80,000 里。这就是《周髀算经》给出的天高八万里。

再算地厚

算地厚用的是一个更妙的想法：把太阳直射点"移到"测量点正下方，然后测影。

古人设定：当太阳正在某地天顶时，该地立表无影（"日中无影"）。于是取一个距离"日下"特定距离的地方，观察影长比例，再套同一套相似三角形，就能从"天有多高"反推出"地有多厚"。

《周髀算经》给出的结论是：

天高一十万八千里，地厚亦如之。

或者另一处记作天高八万里、地厚八万里（不同版本的推算路径略有出入）。总之，天的高度与地的厚度被认定是相等的，都是八万里。

这个数字当然完全错了。天根本没有"壳"，地也不是一块浮着的盘子。但请注意两件事：

第一，他们承认了"天有高度、地有厚度"，并且认为这两个量是可以被测量的。在绝大多数古代文明把天当成神域的时候，这是极其稀有的态度。

第二，方法是对的。勾股定理、相似三角形、两次测量消去未知量——这套"重差术"后来被刘徽在公元 263 年系统整理，写成《海岛算经》，专门讲"隔海望岛，如何算其高远"。刘徽明确指出：**这套方法不需要到达目标，只需在地面上做两次测量，就能算出不可企及之物的高度与距离。**这正是现代大地测量学的基本思想。

三、天有多高：从"盖天"到"浑天"的路线之争

如果说《周髀算经》的天高八万里是"算"出来的，那还有一路人想"观测"出来。这场争论持续了近千年。

盖天说的困境

盖天说的问题在于：日月星辰如果贴在同一个天壳上转，那么靠近边缘的部分应该转得更快、更远、视运动更慢。但实际观测中，日月和恒星的运动速度是均匀的。更麻烦的是：如果天是一个有限的壳，太阳落到地平线以下后就无处可去。

于是到了东汉，出现了浑天说。张衡在《浑天仪注》里给了一个著名的比喻：

浑天如鸡子，天体圆如弹丸，地如鸡中黄，孤居于内。天大而地小。天表里有水，天之包地，犹壳之裹黄。

天是一个完整的球壳，地是壳里的一颗蛋黄。这个模型在几何上远优于盖天说，但它带来了一个新问题：**如果地球是一颗蛋黄悬浮在中心，那它靠什么支撑？**这就把"天高地厚"的问题，从"量多高"变成了"结构是什么"。张衡没有回答这个问题，直到一千多年后，牛顿才用引力回答它。

一行与南宫说的实测

真正把"天高"变成一次严肃测量的，是唐代。

公元 724 年前后，僧一行（张遂）受命主持全国范围的天文大地测量，史称**"四海测验"**。他在南北十三个地点，用同一规范观测：

冬至、夏至、春分、秋分的日影长度北极星的地平高度（即当地纬度）昼夜长短

其中一路，由南宫说在河南平原上主持：从上蔡、扶沟、滑州、浚仪（今开封一带）等地，实测每处"北极出地高度"（纬度）变化 1 度时，对应的地面南北距离。

一行得到的结论是：南北相距约 351 里 80 步，北极高度差 1 度。

换算成现代单位，大约是每度 130 多公里（唐代一里长约 300–450 米，学界换算有争议，此处只能说量级）。而现代值是每度约 111 公里——如果把唐代里长按较可靠的数值折算，这个结果与真值的偏差在一成上下。

**这是人类历史上第一次用实测方式，得到"子午线一度弧长"的数值。**它的意义不在于精度，而在于方法论：不是从宇宙模型推演，而是在大地上真刀真枪地量，再用观测结果反过来检验模型。

一行同时也是世界上第一个发现恒星位置有移动的人（他对比了历代星表，发现许多恒星的位置与古代记录不合），这实际上摸到了岁差的门槛。

四、他们是怎么看清细节的：从"目视"到"仪器"

上面所有的测量，都依赖一个前提：能把天体的位置测准。而这是整个古代天文里最了不起的工具史。

圭表：一根直立的表，加一把水平放置的圭（尺）。通过表影长度确定节气、方位、纬度。一根八尺高的表，是古人最基础也是最可靠的"天文仪器"。中国历代的圭表越做越高——元代郭守敬在河南登封建起一座四十尺高表（观星台至今尚存），把测影精度提高了一个量级。

浑仪：一个多层同心圆环组成的仪器，最内层是可以对准任意天体的窥管。通过旋转窥管、读出各环上的刻度，可以直接得到天体的赤道坐标。从西汉落下闳到今天，浑仪的结构被不断改进，达到了惊人的精度——中国明代、以及后来第谷·布拉赫（Tycho Brahe）时代，单纯的目视仪器已经能把角度读到弧分级别（1 度 = 60 弧分）。

窥管：一根空心的竹管或铜管，中间无遮挡，只留一线视野。人眼通过细长的窥管观察，视野被限制到极小，从而消除周围干扰、提高定位准确度。这是"光学准直"思想的雏形。一行和南宫说的观测，用的就是这类带窥管的仪器。

漏刻与水运仪象台：要比较不同地点的"正午"或"同一时刻"，必须有精确的计时。古人用漏刻（多级漏壶加水流量控制）把一天分成一百刻，精度可以到几分钟。北宋苏颂、韩公廉建造的水运仪象台（1092 年），用水力驱动，能自动跟踪天体、自动报时、自动演示星象，被认为是世界上最早的天文钟。

这些仪器都指向同一件事：**古人早就明白，要想知道天有多高，先得学会把天"读"到分毫。**精度的每一次提升，都不是靠更聪明的公式，而是靠更结实的机械和更耐心的重复。

五、他们到底错在哪里

现在该说实话了：《周髀算经》的"天高八万里、地厚八万里"，从任何现代标准看都是错的。错在哪里？

**第一，模型错了。**天不是壳，没有"高度"这回事；地不是浮盘，更没有"厚度"可测。在错误的几何框架里做再精确的计算，结果也只是这个框架的内部自洽。

第二，可能借用了非实测数字。《周髀算经》中的"八尺表、千里寸差"等参数，很多学者认为并不是精心测量的结果，而是为了凑出漂亮的整数而设定的理想值。用理想化的数据去反推物理量，属于"循环论证"。

**第三，一个根本性的概念缺失：他们不知道"光从远处传来需要时间"。**古人心中的天是"此刻的天"——太阳一出来就是那一刻的太阳。而在现代天文学里，我们看到的太阳是 8 分 20 秒前的太阳，看到的织女星是 25 年前的织女星。所谓"天高"，其实是"光走了多久"。这个概念，古人没有任何途径想到。

但即便如此，他们的贡献是无法抹掉的：

**他们相信世界是可测的。**不是靠神谕、不是靠想象、不是靠权威，而是靠一根竿子和几何。这是科学的起点。**他们发明了"间接测量"。**不能到达的地方怎么测？做两次测量，消掉未知量。这个思想今天仍然是科学的核心方法之一（从雷达测距到宇宙学测距都是它的后代）。**他们建立了误差意识。**一行为了排除冬天和夏天的系统偏差，坚持在四季分别测影；古人反复核对星表、比对历代记录，正是在和误差作斗争。

六、从"八万里"到"一百三十八亿光年"

让我们把这条线拉到底。

公元前 3 世纪：埃拉托色尼用两根竿子的影子，量出地球周长。公元前 1 世纪：《周髀算经》用重差术，算出天高八万里、地厚八万里。公元 2 世纪：张衡提出浑天说，天成为包裹大地的球壳。公元 8 世纪：一行、南宫说实测子午线一度弧长，人类第一次用脚步去丈量一度。1543 年：哥白尼把地球从宇宙中心推下来。1750 年前后：哈雷、勒让蒂等人用金星凌日，测出地球到太阳的距离（1 天文单位 ≈ 1.5 亿公里）。这才是"天有多高"被真正测准的时刻——而且要全球科学家合作才能完成。1924 年：哈勃发现河外星系，宇宙远超银河系。今天：可观测宇宙的半径约 465 亿光年，宇宙年龄约 138 亿年。我们"看到"的最远的光，来自 138 亿年前。

从八万里到一百三十八亿光年，人类把"天高地厚"这个问题的尺度，扩大了大约十的二十次方倍。

而贯穿这两千多年的只有一件事：**每一次尺度的跃迁，都伴随着一次测量方法的革新。**埃拉托色尼靠影子，一行靠步测，哈雷靠金星凌日的一瞬间，哈勃靠造父变星的周光关系，今天的宇宙学家靠超新星和微波背景辐射。

工具在换，思路没换：找一把尺子，找一个可比的基准，让远处的未知量在近处显出比例。